Question

18．知图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，AE平分∠BAC，BD⊥AE，垂足为D点．
（1）求证：AE=2BD；
（2）求∠ADC的度数．

Answer 1

分析 （1）延长AC和BD相交于点F，由直角三角形的性质得出∠AEC=∠F，由AAS证明△ACE≌△BCF，得出对应边相等AE=BF，证出∠F=∠ABD，得出AB=AF，由等腰三角形的三线合一性质得出BD=FD=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$AE，即可得出结论；
（2）由等腰直角三角形的性质得出∠ABC=45°，证出A、B、D、C四点共圆，由圆周角定理得出∠ADC=∠ABC=45°即可．

解答 （1）证明：延长AC和BD相交于点F，如图所示：
则∠BCF=180°-∠ACB=90°，
∵BD⊥AE于D，
∴∠ADF=∠ADB=90°，
∴∠F+∠CAE=90°，
∵∠AEC+∠CAE=90°，
∴∠AEC=∠F，
在△ACE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠BCF=90°}&{\;}\\{∠AEC=∠F}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE，
∵∠F+∠CAE=90°，∠ABD+∠BAE=90°，
∴∠F=∠ABD，
∴AB=AF，
∵BD⊥AE于D，
∴BD=FD=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$AE，
∴AE=2BD；
（2）解：∵∠ACB=∠ADB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=45°，A、B、D、C四点共圆，
∴∠ADC=∠ABC=45°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等和四点共圆才能得出结论．