Question

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转β后得到△DEC，点D恰好落在AB边上．
（1）猜想α与β之间的数量关系，并给予证明；
（2）当α=30°时，点F为DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形的性质得出∠A=90°-α，由旋转的性质得出AC=CD，∠ACD=β，由等腰三角形的性质和三角形内角和得出2（90°-α）+β=180°，即可得出结果；
（2）利用直角三角形的性质得出FC=DF，证出△DFC和△ADC是等边三角形，得出AD=AC=FC=DF，即可得出答案．

解答 （1）解：α=$\frac{1}{2}$β；理由如下：
∵∠ACB=90°，∠B=α，
∴∠A=90°-α，
由旋转的性质得：AC=CD，∠ACD=β，
∴∠A=∠ADC=90°-α，
由三角形内角和定理得：2（90°-α）+β=180°，
解得：α=$\frac{1}{2}$β；
（2）解：四边形ACFD是菱形；理由如下：
∵∠DCE=∠ACB=90°，F是DE的中点，
∴FC=DF=FE，
∵∠CDF=∠A=60°，
∴△DFC是等边三角形，
∴DF=DC=FC，
∵△ADC是等边三角形，
∴AD=AC=DC，
∴AD=AC=FC=DF，
∴四边形ACFD是菱形．

点评 本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理、菱形的判定、等边三角形的判定与性质；本题综合性强，难度适中，证明三角形是等边三角形是解决（2）的关键．