Question

10．四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=5，AD=7，BC=13，S四边形ABCD=40，P是一动点，沿AD，DC由A经D点向C点移动，设P点移动的距离为x．
（1）当P点在AD上运动时，求△PAB的面积y与x的函数关系式并画出图象；
（2）当P点继续沿DC向C点运动时，求四边形ADPB的面积y与x的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）作AE垂直BC于E，根据梯形的面积公式得到函数的解析式；
（2）根据勾股定理得到BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=3．根据等腰梯形的性质得到∠ABE=∠C；AD=BC-2BE=7．作PF垂直BC于F．由∠ABE=∠C，∠AEB=∠PFC=90°．得到△AEB∽△PFC，根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{PF}=\frac{AB}{PC}$，代入数据求得PF=$\frac{48-4x}{5}$，根据图形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）作AE垂直BC于E，
∵AD=7，BC=13，S_{四边形ABCD}=40，
∴$\frac{1}{2}$（AD+BC）•AE=40，AE=4，
∴y=$\frac{1}{2}$AAP•AE=$\frac{1}{2}•x•4$=2x；

（2）∵BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=3，
∵AB=CD=5，∴梯形ABCD为等腰梯形，
∴∠ABE=∠C；AD=BC-2BE=7，
∵AD+DP=x，PD=x-7； PC=CD-PD=5-（x-7）=12-x，
作PF垂直BC于F．
∵∠ABE=∠C；∠AEB=∠PFC=90°．
∴△AEB∽△PFC，
∴$\frac{AE}{PF}=\frac{AB}{PC}$，
即：$\frac{4}{PF}=\frac{5}{12-x}$，
∴PF=$\frac{48-4x}{5}$，
∵S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（AD+BC）•AE=$\frac{1}{2}$（7+13）×4=40，
S_△BCP=$\frac{1}{2}$BC•PF=$\frac{1}{2}×13×\frac{48-4x}{5}$=$\frac{312-26x}{5}$，
∴y=S_梯形ABCD-S_△BCP=40-$\frac{312-26x}{5}$，
即：y=$\frac{26}{5}$x-$\frac{112}{5}$．（7≤x≤12）．

点评 本题考查了动点问题的函数图象，等腰梯形的性质，图形的面积计算，根据图形的面积公式求函数的解析式，正确的识图是解题的关键．