Question

13．已知，如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BC延长线及AC上，联结BE并延长交AD于F，过点E作EG∥BC交AB于G，AC=EG+CD．求证：BF⊥AD．

Answer 1

分析 根据EG∥BC得出△AEG是等腰直角三角形，利用AC=EG+CD得出EC=CD，利用SAS证明△BCE≌△ACD，利用全等三角形的性质证明即可．

解答 证明：∵EG∥BC，且∠ACB=90°，等腰Rt△ABC，
∴∠AEG=90°，∠AGE=∠ABC=45°，
∴AE=GE，
∵AC=EG+CD，AC=AE+EC，
∴EC=CD，
在△BCE与△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=CD}\\{∠ECB=∠ACD=90°}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴∠EBC=∠CAD，
∵∠ACD+∠D=90°，
∴∠EBC+∠D=90°，
∴∠BFD=90°，
∴BF⊥AD．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性质（全等三角形的对应边、对应角相等）是解题的关键．