Question

10．如图，CB，CD是⊙O的切线，切点分别是B，D，CD的延长线于⊙O的直径BE的延长线交与点A，AD=2，CD=8，则AE的长是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 连接OD，如图，设⊙O的半径为r，先根据切线长定理和切线的性质得CD=CB=8，BC⊥AB，OD⊥AC，再利用勾股定理计算出AB，接着证明△AOD∽△ACB，利用相似比计算出r，然后计算AB-BE就即可．

解答 解：连接OD，如图，设⊙O的半径为r，
∵CB，CD是⊙O的切线，
∴CD=CB=8，BC⊥AB，OD⊥AC，
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵∠OAD=∠CAB，
∴△AOD∽△ACB，
∴$\frac{OD}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，即$\frac{r}{8}$=$\frac{2}{6}$，解得r=$\frac{8}{3}$，
∴AE=AB-BE=6-2×$\frac{8}{3}$=$\frac{2}{3}$．
故选D．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决本题的关键是求出AB的长．