Question

19．如图．AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且AB⊥CD于E，F为劣弧AD上一点，BF交CD于点C，过点F作⊙O的切线，交CD的延长线于H．
（1）求证：FH=GH；
（2）若AB=2FH=10，tan∠FGH=2，求AG的长．

Answer 1

分析 （1）连接OF，由切线的性质得出∠OFH=90°，由等腰三角形的性质得出∠OFB=∠OBF；由∠HEG、∠EGB都与∠OFB互余可得出两角相等，结合对顶角相等，即可得出∠GFH=∠FGH，由此可证出FH=GH；
（2）过H作HM⊥GF于点M，连接AF，GM=a，AF=b，结合已知条件根据勾股定理即可得出关于a和b的一元一次方程解方程即可求出a，b值；再根据直径对的圆周角为直角，在Rt△AFG中由勾股定理即可得出结论．

解答 （1）证明：连接OF，如图1所示．

∵HF与⊙O相切于点F，
∴∠OFH=90°，
∴∠GFH=90°-∠OFB．
∵OB=OF，
∴∠OFB=∠OBF．
∵AB⊥CD于E，
∴∠BEG=90°，
∴∠BGE=180°-∠BEG-∠EBG=90°-∠OBF．
∵OB=OF，
∴∠OBF=∠OFB，
∴∠GFH=∠BGE，
又∵∠BGE=∠FGH，
∴∠GFH=∠FGH，
∴FH=GH．
（2）解：过H作HM⊥GF于点M，连接AF，如图2所示．

∵AB=2FH=10，tan∠FGH=2，
∴设GM=a，AF=b，
则HM=GF=2a，BF=2b，
由勾股定理得：GH=$\sqrt{G{M}^{2}+H{M}^{2}}$=$\sqrt{5}$a=5，AB=$\sqrt{A{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$b=10，
∴a=$\sqrt{5}$，b=2$\sqrt{5}$，
∴AF=2$\sqrt{5}$，GF=2a=2$\sqrt{5}$．
∵AB为直径，
∴∠AFG=90°，
∴AG=$\sqrt{A{F}^{2}+G{F}^{2}}$=
∴AG=$\sqrt{A{E}^{2}+E{G}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及解直角三角形，解题的关键是：（1）通过边角关系找出∠GFH=∠FGH；（2）通过解直角三角形找出AF、GF的长．本题属于中档题，（1）难度不大；（2）有点难度，解决该问时，通过设未知数解方程得出线段的长度．