Question

1．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，半圆O过点B，且分别与边AB、BC交于点D、E，点D与点A不重合，EF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：直线EF是半圆O的切线；
（2）若FC=3，BE=2，OB=2，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠C=∠B，∠OEB=∠B，等量代换得到∠C=∠OEB，推出OE∥AC，根据平行线的性质得到OE⊥EF，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据已知条件得到△BOE是等边三角形，得到∠B=60°，根据直角三角形的性质得到CE=2CF=6，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠B，
∴∠C=∠OEB，
∴OE∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，
∴直线EF是半圆O的切线；

（2）∵BE=2，OB=2，
∴OB=BE，
∵OE=OB，
∴△BOE是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵AC=AB，
∴∠C=∠B=60°，
∵EF⊥AC，
∴∠CEF=30°，
∴CE=2CF=6，
∴BC=CE+BE=8．

点评 本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，连接OE是解题的关键．