Question

9．如图1，在边长4的正方形ABCD中，E是AB边上一动点（不与A、B重合），F是AD延长线上一点，且满足DF=BE，以CE为边作∠ECG=45°，交AD于点G．
（1）求证：△ECG≌△FCG；
（2）在点E运动的过程中，△AEG的周长会发生变化吗？若不变，请求出△AEG的周长；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先证明△BCE≌△DCF，可得∠ECB=∠FCD，所以∠GCE=∠FCG，从而可求证△ECG≌△FCG
（2）利用△ECG≌△FCG可知EG=GF，利用△BCE≌△DCF可知EB=DF，从而可得AG+EG+AE=AD+AB．

解答 解：（1）在△EBC与△FDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DF}\\{∠B=∠FDC}\\{BC=CD}\end{array}\right.$
∴△EBC≌△FDC（SAS）
∴∠ECB=∠FCD，CE=CF
∵∠ECG=45°，
∴∠ECB+∠GCD=45°
∴∠FCD+∠GCD=45°，
∴∠ECG=∠GCF，
在△ECG与△FCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{∠ECG=∠GCF}\\{GC=GC}\end{array}\right.$
∴△ECG≌△FCG（SAS）
（2）由（1）可知：EG=GF，EB=DF
∴AG+EG+AE
=AG+GF+AE
=AF+AE
=AD+DF+AE
=AD+EB+AE
=AD+AB
=2AD
=8
故在点E运动的过程中，△AEG的周长会发生变化，且周长为8

点评 本题考查全等三角形的判定，解题的关键是求证△BCE≌△DCF与△ECG≌△FCG，本题属于中等题型．