Question

7．在四边形ABCD中AB=3，AD=DC=4，∠A=120°，BD平分∠ABC．那么四边形ABCD的面积为10$\sqrt{3}$．．

Answer 1

分析 过D作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到DE=DF，根据全等三角形的性质得到BE=BF，AE=CF，解直角三角形得到AE=$\frac{1}{2}$AD=2，DE=2$\sqrt{3}$根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：过D作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F，
∵BD平分∠ABC．
∴DE=DF，
在Rt△BED与Rt△BFD中$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BED≌Rt△BFD，
∴BE=BF，
在Rt△AED与Rt△CFD中$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AED≌Rt△CFD，
∴AE=CF，
∵∠BAD=120°，
∴∠EAD=60°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=2，DE=2$\sqrt{3}$
∴BC=7，
∴四边形ABCD的面积=S_△ABD+D_△BCD=$\frac{1}{2}×$3×2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}×$7×2$\sqrt{3}$=10$\sqrt{3}$，
故答案为：10$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判断和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．