Question

17．如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，$\widehat{AB}$=$\widehat{AE}$，BE分别交AD、AC于点 F、G．
（1）证明：FA=FG；
（2）若BD=DO=2，求弧EC的长度．

Answer 1

分析 （1）根据BC是⊙O的直径，AD⊥BC，$\widehat{AB}$=$\widehat{AE}$，推出∠AGB=∠CAD，即可推得FA=FG．
（2）根据BD=DO=2，AD⊥BC，求出∠AOB=60°，再根据$\widehat{AB}$=$\widehat{AE}$，求出∠EOC=60°，即可求出$\widehat{EC}$的长度是多少．

解答 （1）证明：∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABE+∠AGB=90°；
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD=90°；
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AE}$，
∴∠C=∠ABE，
∴∠AGB=∠CAD，
∴FA=FG．

（2）解：如图，连接AO、EO，
，
∵BD=DO=2，AD⊥BC，
∴AB=AO，
∵AO=BO，
∴AB=AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AE}$，
∴∠AOE=60°，
∴∠EOC=60°，
∴$\widehat{EC}$的弧长=2π×（2×2）×$\frac{60}{360}$=$\frac{4}{3}$π．

点评 此题主要考查了圆周角定理和应用，以及弧长的计算方法，要熟练掌握．