如图.抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c与x轴分别相交于点A.与y轴交于点C.顶点为点P．(1)求抛物线的解析式,(2)动点M.N从点O同时出发.都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB.OC上向点B.C方向运动.过点M作x轴的垂线交BC于点F.交抛物线于点H．①当四边形OMHN为矩形时.求点H的坐标,②是否存在这样的点F.使△PFB为直角三角形?若存在.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．

如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴分别相交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C，顶点为点P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H．
①当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；
②是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）把A（-2，0），B（4，0），代入抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c，求出b、c即可；
（2）①表示出ON、MH，运用ON=MH，列方程求解即可；
②存在，先求出BC的解析式，根据互相垂直的直线一次项系数积等于-1，直线经过点P，待定系数法求出直线PF的解析式，求直线BC与直线PF的交点坐标即可．

解答解：（1）把A（-2，0），B（4，0），代入抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{-2-2b+c=0}\\{-8+4b+c=0}\end{array}\right.$
解得：b=1，c=4，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；

（2）点C的坐标为（0，4），B（4，0）
∴直线BC的解析式为y=-x+4，
①根据题意，ON=OM=t，MH=-$\frac{1}{2}$t²+t+4
∵ON∥MH
∴当ON=MH时，四边形OMHN为矩形，
即t=-$\frac{1}{2}$t²+t+4
解得：t=2$\sqrt{2}$或t=-2$\sqrt{2}$（不合题意舍去）
把t=2$\sqrt{2}$代入y=-$\frac{1}{2}$t²+t+4得：y=2$\sqrt{2}$
∴H（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）；
②存在，
当PF⊥BC时，
∵直线BC的解析式为y=-x+4，
∴设PF的解析式为y=x+b，又点P（1，$\frac{9}{2}$）代入求得b=$\frac{7}{2}$，
∴根据题意列方程组：
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=x+\frac{7}{2}}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{4}}\\{y=\frac{15}{4}}\end{array}\right.$
∴F（$\frac{1}{4}$，$\frac{15}{4}$）
当PF⊥BP时，
∵点P（1，$\frac{9}{2}$），B（4，0），
∴直线BP的解析式为：y=-$\frac{3}{2}$x+6，
∴设PF的解析式为y=$\frac{2}{3}$x+b，又点P（1，$\frac{9}{2}$）代入求得b=$\frac{23}{6}$，
∴根据题意列方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{2}{3}x+\frac{23}{6}}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{10}}\\{y=\frac{39}{10}}\end{array}\right.$

∴F（$\frac{1}{10}$，$\frac{39}{10}$），
综上所述：△PFB为直角三角形时，点F的坐标为（$\frac{1}{4}$，$\frac{15}{4}$）或（$\frac{1}{10}$，$\frac{39}{10}$）．