Question

16．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，F是BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O．
（1）求证：AE∥FD；
（2）试判断AF和AB的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理可得∠FDE=90°，根据菱形的性质可得∠AEB=90°，即可得到∠AEB=∠FDE，问题得以解决；
（2）由于AB=DC，要证AF=AB，只需证AF=DC，只需证四边形ACDF是平行四边形即可．

解答 解：（1）∵EF是⊙O的直径，
∴∠FDE=90°；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AEB=90°，
又∵∠FDE=90°，
∴∠AEB=∠FDE，
∴AE∥FD；

（2）AF=AB；
理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，CD=AB，
又∵AC∥DF
∴四边形FACD是平行四边形，
故AF=DC=AB．

点评 本题主要考查了圆周角定理、菱形的性质、平行四边形的判定与性质．