Question

4．如图所示，已知抛物线y=ax²-4x-5（a＞0，a为常数）与一次函数y=$\frac{1}{2}$x+b（b为常数）交于点M（6，n），直线y=$\frac{1}{2}$x+b与x轴及y轴交于两点A、B，△AOB的周长是12+4$\sqrt{5}$，抛物线y=ax²-4x-5与y轴交于点C，与x轴交于点D、E（点E在点D的右侧）．
（1）确定a、b、n及tan∠BAO的值；
（2）确定一次函数y=$\frac{1}{2}$x+b与抛物线y=ax²-4x-5的另一个交点N的坐标，并计算线段MN的长度；
（3）试确定在抛物线及对称轴上是否存在两点P、Q，使得四边形C、E、Q、P是平行四边形？如果存在请直接写出P、Q两点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）用b表示A、B坐标，根据△AOB周长求出b，再求出点M坐标，即可解决问题．
（2）列方程组解方程组即可解决问题．
（3）分CE为对角线，CE为边两种情形讨论即可．

解答 解：（1）∵直线y=$\frac{1}{2}$x+b与x轴及y轴交于两点A、B，
∴点A坐标（-2b，0），点B坐标（0，b），
∴OB=b，OA=2b，AB=$\sqrt{5}$b，
∵△AOB的周长为12+4$\sqrt{5}$，
∴3b+$\sqrt{5}$b=12+4$\sqrt{5}$，
∴b=4，
∴直线解析式为y=$\frac{1}{2}$x+4，把点M（6，n）代入得到n=7，
∴点M坐标（6，7），代入抛物线解析式得到：7=36a-24-5，
∴a=1，
∴OB=4，OA=8，
∴tanBAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$．
∴a=1，b=4，n=7，tan∠BAO=$\frac{1}{2}$，
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+4}\\{y={x}^{2}-4x-5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=7}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}}\\{y=\frac{13}{4}}\end{array}\right.$，
∴一次函数y=$\frac{1}{2}$x+b与抛物线y=ax²-4x-5的另一个交点N的坐标（-$\frac{3}{2}$，$\frac{13}{4}$）．
∴MN=$\sqrt{（-\frac{3}{2}-6）^{2}+（\frac{13}{4}-7）^{2}}$=$\frac{15\sqrt{5}}{4}$．
（3）如图，点C（0，-5），点E（5，0），抛物线顶点（2，-9），
①当CE为对角线时，点P₁与顶点重合时，四边形CP₁EQ₁是平行四边形，
∵P₁（2，-9），CE与对称轴的交点坐标G（2，-2.5），
∴GP₁=GQ₁=6.5，
∴Q₁（2，4）．
②当CE为边时，∵CE=P₂Q₂，
∴|x_Q-x_P|=|x_E-x_C|=5，|y_E-y_C|=|y_Q-y_P|=5，
∴P₂、P₃的横坐标分别为-3，7，
∵x=-3时，y=12，x=7时，y=16，
∴P₂（-3，16），Q₂（2，17），P₃（7，16），Q₃（2，12）．
综上所述P₁（2，-9），Q₁（2，4），P₂（-3，16），Q₂（2，17），P₃（7，16），Q₃（2，12）．

点评 本题考查二次函数综合题、两点间距离公式、平行四边形等知识，解题的关键是灵活掌握待定系数法，学会利用方程组求两个函数的图象的交点坐标，学会分类讨论，属于中考压轴题．