Question

6．已知平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于A（2，0）、B（4，0）两点，设抛物线的顶点为M，∠AMB=90°．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）过点C（0，3）作x轴的平行线，交抛物线于E、F，交其对称轴于D
①求证：OD∥AF；
②在OE的右侧作OP=OE，在AF的左侧作AQ=OF，且∠EOP=∠FAQ，求证：DP=DQ．

Answer 1

分析 （1）根据题目中的信息可以得到顶点M的坐标，然后根据抛物线与x轴交于A（2，0）、B（4，0）两点，从而可以求得抛物线的解析式；
（2）①要证明OD∥AF，只要证明四边形OAFD是平行四边形即可，根据题意可以求得点E和点F的坐标，从而可以求得DF的长，从而可以证明结论成立；
②要证明DP=DQ，只要证明△POD≌△DAQ即可，根据题目中的条件可以找到证明两个三角形全等的条件，本题得以解决．

解答 解：（1）∵抛物线与x轴交于A（2，0）、B（4，0）两点，抛物线的顶点为M，∠AMB=90°，
∴点M的横坐标是3，AB=4-2=2，
∴点M的纵坐标是-1，
∴点M（3，-1），
设抛物线的解析式为y=a（x-3）²-1，
∴0=a（2-3）²-1，得a=1，
∴y=（x-3）²-1=x²-6x+8，
即该抛物线的解析式是y=x²-6x+8；
（2）①证明：∵点C（0，3），
将y=3代入y=x²-6x+8，得x₁=1，x₂=5，
∴点E（1，3），点F（5，3），
∴DF=5-3=2，
∵OA=2，
∴OA=DF，
∵OA∥DF，
∴四边形OAFD是平行四边形，
∴OD∥AF；
②证明：连接OD，如右图所示，
同理可得，DE=3-1=2，
∴DE∥OA，DE=OA，
∴四边形OADE是平行四边形，
∴OE=AD，
又∵OE=OP，OD=AF，AF=AQ，
∴OP=AD，OD=AQ，
∵OE∥AD，OD∥AF，
∴∠EOB=∠DAB，∠DOB=∠FAB，
又∵∠EOP=∠FAQ，
∴∠POD=∠DAQ，
在△POD和△DAQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP=AD}\\{∠POD=∠DAQ}\\{OD=AQ}\end{array}\right.$，
∴△POD≌△DAQ（SAS），
∴DP=QD，
即DP=DQ．

点评 本题考查二次函数综合题、全等三角形的证明、等腰直角三角形的性质，解答此类题目的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想、函数的性质和全等三角形的证明的相关知识解答．