Question

6．实验与探究
操作发现：
如图（1）某数学活动小组的同学将正方形A′B′C′O的顶点O与正方形ABCD的中心重合，将正方形A′B′C′O绕点O做旋转实验，发现了如下数学问题：
如图（2），在四边形ABCD中，若AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，则BC、CD、AC具有一定的数量关系：BC+CD=$\sqrt{2}$AC．
数学思考：
（1）请你写出图（2）中数学活动小组的同学发现的结论：BC+CD=AC．（不要求说理或证明）
（2）如图（3），在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，则BC、CD、AC具有怎样的数量关系，请给出证明过程．
拓展探究：
如图（4），在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=180°，且BD=kAB，则BC、CD、AC具有怎样的数量关系？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）构造全等三角形，根据邻补角的定义，判断出三角形全等，由△ABD，△BCD为直角三角形，根据勾股定理简单计算即可．
（2）构造全等三角形，根据邻补角的定义，判断出三角形全等，在判断出△AHC为等边三角形即可，
拓展探究：构造全等三角形，从而得出BH=CD，AC=AH，∠BAH=∠DAC，再根据两边对应成比例，夹角相等判断出三角形相似，得出$\frac{HC}{AH}=\frac{BD}{AB}$从而得出结论，

解答 数学思考：（1）故答案为BC+CD=$\sqrt{2}$AC，
（2）BC+CD=AC，

理由：延长CB到H，使BH=CD．
∵∠BAD+∠BCD=60°+120°=180°
∴∠ABC+∠ADC=180°
又∵∠ABH+∠ABC=180°
∴∠ABH=∠ADC
又∵AB=AD
∴△ABH≌△ADC
∴BH=CD，AC=AH，∠BAH=∠DAC
∴∠HAC=∠BAD=60°
∴△AHC为等边三角形
∴BC+CD=BC+BH=AC．
故答案为BC+CD=AC．
拓展探究：
BC+CD=kAC
理由：延长CB到H，使BH=CD．

∵∠BAD+∠BCD=180°
∴∠ABC+∠ADC=180°
又∵∠ABH+∠ABC=180°
∴∠ABH=∠ADC
又∵AB=AD
∴△ABH≌△ADC
∴BH=CD，AC=AH，∠BAH=∠DAC
∴∠HAC=∠BAD，$\frac{AH}{AC}=\frac{AB}{AD}$，
∴△AHC∽△ABD
∴$\frac{HC}{AH}=\frac{BD}{AB}$=k，
∴HC=kAH=kAC，
∴BC+CD=kAC．

点评 本题是四边形的综合题，涉及到全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，如：由BH=CD，AC=AH，∠BAH=∠DAC得出∠HAC=∠BAD，$\frac{AH}{AC}=\frac{AB}{AD}$，从而△AHC∽△ABD得到$\frac{HC}{AH}=\frac{BD}{AB}$，勾股定理，等边三角形的判断方法，解本题的关键是构造全等三角形△ABH≌△ADC，本体的难点是作辅助线．