题目内容
18．
如图，在平面直角坐标系中，P，Q分别是x轴，y轴的正半轴上两动点，OP=2，OQ=k，分别过P，Q作坐标轴的垂线，交反比例函数y=$\frac{k}{x}$于点A，B两垂线交于点M，点E为线段OP上一动点．（1）当点A在线段QM上时，求AM，BM的长（结果均用含k的代数式表示）；
（2）点E在整个运动过程中，若存在△ABE是等腰直角三角形，请求出所有满足条件的k的值．
分析 （1）当点A在线段QM上时，则点A的纵坐标为k，代入反比例函数解析式得点A的横坐标为1，点B的横坐标为2，代入反比例函数的解析式得点B的纵坐标为$\frac{k}{2}$，由题意得点M的坐标为（2，k），则AM=2-1=1，BM=k-$\frac{k}{2}$=$\frac{k}{2}$；
（2）利用分类讨论的思想，若∠ABE为直角，则BA⊥BE，BA=BE；若∠EAB为直角，则AB⊥AE，AB=AE；若∠EAB为直角，则AB⊥AE，AB=AE，利用两点之间距离公式和两直线垂直的时，斜率的关系利用代数思想可解得结果．
解答 解：（1）∵OP=2，OQ=k，
∴点Q坐标为（0，k），点P的坐标为（2，0），
∵点A在线段QM上，
∴点A的纵坐标为k，
代入反比例函数解析式得：k=$\frac{k}{x}$，解得：x=1，
∵点B在直线MP上，
∴点B的横坐标为2，
代入反比例函数的解析式得：y=$\frac{k}{2}$，
由题意得点M的坐标为（2，k），
∴AM=2-1=1，
BM=k-$\frac{k}{2}$=$\frac{k}{2}$；
（2）设E（x0，0）（0≤x0≤2），
若∠ABE为直角，则BA⊥BE，BA=BE，
∵BA=BE，
∴1+${（k-\frac{k}{2}）}^{2}$=${{（x}_{0}-2）}^{2}$+${（\frac{k}{2}）}^{2}$，
解得：x0=1或x0=3（舍去），
∴x0=1，
∴E（1，0），
∵BA2+BE2=AE2，BA=BE，
∴2BA2=AE2，
∴2（$\frac{{k}^{2}}{4}$+1）=k2，解得：k=2或k=-2（舍去）；
若∠AEB为直角，则EA⊥EB，EA=EB，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（1{-x}_{0}）（2{-x}_{0}）{+（\frac{k}{2}）}^{2}=0}\\{{（1{-x}_{0}）}^{2}{+k}^{2}{=（2{-x}_{0}）}^{2}{+（\frac{k}{4}）}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：x0=3（舍去）或${x}_{0}=\frac{4}{3}$，k=$\frac{2}{3}$，
当${x}_{0}=\frac{4}{3}$时，k=$\frac{2}{3}$；
若∠EAB为直角，则AB⊥AE，AB=AE，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}-1+\frac{{k}^{2}}{2}=0}\\{1+\frac{{k}^{2}}{4}{={（x}_{0}-1）}^{2}{+k}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：${x}_{0}=\frac{1}{2}$或x0=3（舍去），
当${x}_{0}=\frac{1}{2}$时，k=1，
∴当k=2，k=$\frac{2}{3}$或k=1时，△ABE是等腰直角三角形．
点评 本题主要考查了反比例函数的图象和性质、坐标与函数图象的关系等，分类讨论，结合等腰直角三角形的性质，利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解答此题题的关键．
已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a-b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0，其中所有正确结论的序号是①④．
| A． | 12 | B． | 14 | C． | 12或14 | D． | 以上都不是 |
如图，在?ABCD中，O为对角线AC的中点，EF经过点O并与AB，CD分别相交于点E，F．
已知直线y=k1x+b与双曲线$y=\frac{k_2}{x}$相交于点A（2，4），且与x轴、y轴分别交于B、C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线和双曲线的解析式．
如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心O在AC上，∠A=30°，D为$\widehat{BC}$的中点．