Question

10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-2mx-3（m≠0）与x轴交于A（3，0），B两点．
（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）当-2＜x＜3时的函数图象记为G，求此时函数y的取值范围；
（3）在（2）的条件下，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若经过点C（4.2）的直线y=kx+b（k≠0）与图象M在第三象限内有两个公共点，结合图象求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把点A的坐标代入抛物线解析式，列出关于m的方程，通过解该方程可以求得m的值；
（2）根据抛物线解析式求得对称轴，所以由抛物线的对称性和增减性进行解答；
（3）根据题意作出函数图象，由图象直接回答问题．

解答 解：（1）将A（3，0）代入，得m=1．
∴抛物线的表达式为y=x²-2x-3． 
B点的坐标（-1，0）． 

（2）y=x²-2x-3=（x-1）²-4．
∵当-2＜x＜1时，y随x增大而减小；
当1≤x＜3时，y随x增大而增大，
∴当x=1，y_最小=-4．
当x=-2，y=5．
∴y的取值范围是-4≤y＜5．

（3）当直线y=kx+b经过B（-1，0）和点（4，2）时，
解析式为y=$\frac{2}{5}$x+$\frac{2}{5}$．
当直线y=kx+b经过（-2，-5）和点（4，2）时，
解析式为y=$\frac{7}{6}$x-$\frac{8}{3}$．
结合图象可得，b的取值范围是-$\frac{8}{3}$＜b＜$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式．解题时，注意数形结合，使抽象的问题变得具体化，降低了解题的难度．