Question

9．已知：∠MON=80°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则：
①∠ABO的度数是40°；
②如图2，当∠BAD=∠ABD时，试求x的值（要说明理由）；
（2）如图3，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，直接写出x的值；若不存在，说明理由．（自己画图）

Answer 1

分析 （1）①利用角平分线的性质求出∠ABO的度数；
②利用角平分线的性质和平行线的性质求得∠OAC=60°；
（2）需要分类讨论：当点D在线段OB上和点D在射线BE上两种情况．

解答 解：（1）①∵∠MON=80°，OE平分∠MON．
∴∠AOB=∠BON=40°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO=40°
故答案是：40°；
②如答图1，∵∠MON=80°，且OE平分∠MON，
∴∠1=∠2=40°，
又∵AB∥ON，
∴∠3=∠1=40°，
∵∠BAD=∠ABD，
∴∠BAD=40°
∴∠4=80°，
∴∠OAC=60°，即x=60°．

（2）存在这样的x，
①如答图2，当点D在线段OB上时，
若∠BAD=∠ABD，则x=40°；            
若∠BAD=∠BDA，则x=25°；            
若∠ADB=∠ABD，则x=10°．
②如答图3，当点D在射线BE上时，因为∠ABE=130°，且三角形的内角和为180°，
所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=65°，C不在ON上，舍去；   
综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，
且x=10°、25°、40°．

点评 本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．