Question

13．如图，在?ABCD中，O为对角线AC的中点，EF经过点O并与AB，CD分别相交于点E，F．
（1）求证：AE=CF；
（2）当EF⊥AC时，连接AF，CE，试判断四边形AFCE是怎样的四边形？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由ASA证明△AOE≌△COF，的长对应边相等即可；
（2）先由对角线互相平分证出四边形AFCE是平行四边形，再由EF⊥AC，即可证出四边形AFCE是菱形．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠EAO=∠FCO，
∵O为AC的中点，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\\{∠AOE=∠COF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF；
（2）解：如图所示：四边形AFCE是菱形；理由如下：
由（1）得：△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定；熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．