Question

19．如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E、F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．求证：AE=AF．

Answer 1

分析 根据平行四边形的性质得出AB=CD，BC=AD，∠ABC=∠ADC，根据等边三角形的性质得出DC=DF，BC=BE，∠EBC=∠CDF=60°，求出AB=DF，BE=DA，∠ABE=∠FDA，根据SAS推出△ABE≌△FDA即可．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，∠ABC=∠ADC，
∵△BCE和△CDF为等边三角形，
∴DC=DF，BC=BE，∠EBC=∠CDF=60°，
∴AB=DF，BE=DA，∠ABE=∠FDA，
在△ABE和△FDA中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DF}\\{∠ABE=∠FDA}\\{BE=AD}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△FDA（SAS），
∴AE=AF．

点评 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．