Question

14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3与x轴的一个交点A的坐标是（-1，0），与y轴相交于点B，将点B沿x轴的正方向平行移动2个单位长度，得到点B′，点B′恰好落在抛物线上．
（1）求a，b的值；
（2）求直线AB′与抛物线的对称轴的交点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出B（0，3），由平移的性质得出B′（2，3），用待定系数法求出a，b即可；
（2）设直线AB′的解析式为y=kx+n，用待定系数法求出求出直线AB′的解析式，再求出抛物线的对称轴，即可求出点C的坐标为（1，2）．

解答 解：（1）当x=0时，y=3，
∴B（0，3），
∵点B沿x轴的正方向平行移动2个单位长度，得到点B′，
∴B′（2，3），
把点A（-1，0），B′（2，3）代入抛物线y=ax²+bx+3得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{4a+2b+3=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
即a=-1，b=2；
（2）设直线AB′的解析式为y=kx+n，
把点A（-1，0），B′（2，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+n=0}\\{2k+n=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴直线AB′的解析式为y=x+1，
∵抛物线y=-x²+2x+3的对称轴是直线x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，
∴当x=1时，y=2，
∴点C的坐标为（1，2）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、平移的性质、待定系数法求抛物线和直线的解析式、对称轴的求法；熟练掌握待定系数法求抛物线和直线的解析式是解决问题的关键．