题目内容
如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，DC⊥AB于点D，D′C′⊥A′B′于点D′，且
=
．求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．
| AC |
| A′C′ |
| CD |
| C′D′ |
考点：相似三角形的判定
专题：证明题
分析：设
=
=k，则AC=kA′C′，CD=kC′D′，再利用勾股定理得到AD=k
，A′D′=
，则AD=kA′D′，所以
=
=
=k，于是可根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到△ADC∽△A′D′C′，则∠A=∠A′，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得Rt△ABC∽Rt△A′B′C．
| AC |
| A′C′ |
| CD |
| C′D′ |
| A′C′2-C′D′2 |
| A′C′2-C′D′2 |
| AC |
| A′C′ |
| CD |
| C′D′ |
| AD |
| A′D′ |
解答：证明：设
=
=k，则AC=kA′C′，CD=kC′D′
∵DC⊥AB于点D，D′C′⊥A′B′于点D′，
∴∠ADC=∠A′D′C′=90°，
在Rt△ADC中，AD=
=
=k
，
在Rt△A′D′C′中，A′D′=
，
∴AD=kA′D′，
∴
=
=
=k，
∴△ADC∽△A′D′C′，
∴∠A=∠A′，
∵∠ACB=∠A′C′B′=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．
| AC |
| A′C′ |
| CD |
| C′D′ |
∵DC⊥AB于点D，D′C′⊥A′B′于点D′，
∴∠ADC=∠A′D′C′=90°，
在Rt△ADC中，AD=
| AC2-CD2 |
| k2A′C′2-k2C′D′2 |
| A′C′2-C′D′2 |
在Rt△A′D′C′中，A′D′=
| A′C′2-C′D′2 |
∴AD=kA′D′，
∴
| AC |
| A′C′ |
| CD |
| C′D′ |
| AD |
| A′D′ |
∴△ADC∽△A′D′C′，
∴∠A=∠A′，
∵∠ACB=∠A′C′B′=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．
点评：本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质和勾股定理．
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在下列各数0，3π，
，6.1010010001…，-
，
，
中，无理数的个数是（ ）
| 22 |
| 7 |
| 16 |
| 3 | 27 |
| 7 |
| A、1 | B、2 | C、3 | D、4 |