Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，顶点A、C的坐标分别为（-1，2），（3，2），点B在x轴上，抛物线y=-x²+bx+c经过A、C两点．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）点P是抛物线上的一点，当S_△PAB=

5

4

S_△ABC时，求点P的坐标；
（3）若点N由点B出发，以每秒

6

5

个单位的速度沿边BC、CA向点A移动，

1

3

秒后，点M也由点B出发，以每秒1个单位的速度沿线段BO向点O移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点N的移动时间为t秒，当MN⊥AB时，请直接写出t的值，不必写出解答过程．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据抛物线y=-x²+bx+c经过A、C两点，把（-1，2），（3，2）代入y=-x²+bx+c计算即可；
（2）先求出 y_AB=-

1

2

x+

3

2

，再求出

5

4

S_△ABC=5，分两种情况讨论：
当P在AB上方时，根据S_△PAB=S_△PAQ+S_△PBQ=2PQ得出2[（-x²+2x+5）-（-

1

2

x+

3

2

）]=5；
当P在AB下方时，根据S_△PAB=S_△PQB-S_△PQA=2PQ得出2[（-

1

2

x+

3

2

）-（-x²+2x+5）]=5，再分别求解即可；
（3）当点N在BC上时，设MN与AB交于点D，若MN⊥AB，根据△BMN∽△CBA，得出

BN

CA

=

BM

BC

，再根据BN=

6

5

5t，BM=t-

1

3

，得出

6 5 t

4

=

t- 1 3

2

，当点N在CA上时，设MN与AB交于点D，过点N作NE⊥x轴于点E，则CN=EB，根据△ACB∽△NEM，得出

AC

NE

=

CB

EM

，求出EM=1，再求出EB=t-

4

3

，再根据CN=

6

5

t-2，得出

6

5

t-2=t-

4

3

，再分别求出t即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c经过A、C两点，
∴把（-1，2），（3，2）代入得：

-1-b+c=2 -9+3b+c=2

，
解得：

b=2 c=5

，
∴该抛物线所对应的函数关系式为：y=-x²+2x+5；
（2）由A（-1，2）B（3，0）可得：y_AB=-

1

2

x+

3

2

，
∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×4×2=4，
∴

5

4

S_△ABC=

5

4

×4=5，
如图1，当P在AB上方时，
S_△PAB=S_△PAQ+S_△PBQ=

1

2

PQ•AE+

1

2

PQ•CE=

1

2

PQ•AC=

1

2

•PQ×4=2PQ=2[（-x²+2x+5）-（-

1

2

x+

3

2

）]=5，
解得：x₁=

5+ 41

4

，x₂=

5- 41

4

，
则P₁（

5+ 41

4

，

27- 41

8

）P₂（

5- 41

4

，

27+ 41

8

）
如图2，当P在AB下方时，
S_△PAB=S_△PQB-S_△PQA=

1

2

PQ•BG-

1

2

PQ•GF=

1

2

PQ•AC=

1

2

•PQ×4=2PQ=2[（-

1

2

x+

3

2

）-（-x²+2x+5）]=5，
解得：x₁=-

3

2

，x₂=4，
则P₃（-

3

2

，-

1

4

），P₄（4，-3），
综上所述：P₁（

5+ 41

4

，

27- 41

8

），P₂（

5- 41

4

，

27+ 41

8

），P₃（-

3

2

，-

1

4

），P₄（4，-3）；

（3）如图3，当点N在BC上时，设MN与AB交于点D，
若MN⊥AB，
∵∠BDN=∠BCA，∠B=∠B，
∴∠BND=∠BAC，
∵∠MBC=∠ACB=90°，
∴△BMN∽△CBA，
∴

BN

CA

=

BM

BC

，
∵BN=

6

5

5t，BM=t-

1

3

，
∴

6 5 t

4

=

t- 1 3

2

，
∴t=

5

6

（秒），
如图4，当点N在CA上时，设MN与AB交于点D，
过点N作NE⊥x轴于点E，则CN=EB，
若MN⊥AB，则∠A=∠MNE，
∵∠ACB=∠MEN，
∴△ACB∽△NEM，
∴

AC

NE

=

CB

EM

，
∴

4

2

=

2

EM

，
∴EM=1，
∴EB=MB-EM=t-

1

3

-1=t-

4

3

，
∵CN=

6

5

t-2，∴

6

5

t-2=t-

4

3

，
∴t=

10

3

．

点评：此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是待定系数法求函数的解析式、相似三角形的性质、三角形的面积、矩形的性质，关键是根据题意画出图形，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．