Question

16．如图①，先把一矩形ABCD纸片上下对折，设折痕为MN；如图②，再把点B 叠在折痕线MN上，得到Rt△ABE．过B点作PQ⊥AD，分别交BC、AD于点P、Q．
（1）求证：△PBE∽△QAB；
（2）在图②中，EB是否平分∠AEC？请说明理由；
（3）在（1）（2）的条件下，若AB=4，求PE的长度．

Answer 1

分析 （1）先利用互余得出∠EBP=∠BAQ，进而得出结论；
（2）由（1）的结论△PBE∽△QAB，得出$\frac{PE}{QB}=\frac{BE}{AB}$即$\frac{PE}{BE}=\frac{PB}{AB}$，进而判断出△PBE∽△BAE．即可得出∠AEB=∠PEB，结论得证；
（3）先用勾股定理求出AQ，进而借助（1）的结论即可求出PE．

解答 解：（1）在矩形ABCD中
∵EC∥AD，又PQ⊥AD
∴PQ⊥EC，
∴∠EPB=∠BQA=90°，
∴∠BAQ+∠ABQ=90°
∵是把B点叠在MN上得到△ABE
∴∠ABE=90°
∴∠EBP+∠ABQ=90°
∴∠EBP=∠BAQ
∴△PBE∽△QAB，
（2）解：EB平分∠AEC，
理由如下：
∵△PBE∽△QAB，
∴$\frac{PE}{QB}=\frac{BE}{AB}$
∵由折叠可知BQ=PB．
∴$\frac{PE}{PB}=\frac{BE}{AB}$即$\frac{PE}{BE}=\frac{PB}{AB}$，
又∵∠ABE=∠BPE=90°，
∴△PBE∽△BAE．
∴∠AEB=∠PEB，
∴EB平分∠AEC，
（3）∵PQ=AB=4，
∴PB=BQ=2，
在Rt△QAB中，AB=4，BQ=2，
∴AQ=$\sqrt{A{B}^{2}-B{Q}^{2}}$=2$\sqrt{3}$
∵△PBE∽△QAB，
∴$\frac{PE}{BQ}=\frac{PB}{AQ}$，
∴$\frac{PE}{2}=\frac{2}{2\sqrt{3}}$，
∴PE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

点评 此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，同角的余角相等，相似三角形的判定和性质，角平分线的判断方法，解本题的关键是△PBE∽△QAB．