Question

4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB于D，AD=2，CD=4．∠BCD的角平分线CE与过点B的切线l交过点E．
（1）求⊙O半径的长；     
（2）求点E到直线BC的距离．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OC，设⊙O的半径为r．在Rt△CDO中，利用勾股定理即可解决问题．
（2）如图2中，过点E作EF⊥CD，垂足为点F，EG⊥CB，垂足为G，则∠EFD=90°，只要证明四边形BDFE是矩形，求出EF，利用角平分线的性质可得EG=EF即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，连接OC，设⊙O的半径为r．

∵AD=2，OD=r-2，
∵CD⊥AB，
∴∠CDO=90°，
在Rt△CDO中，∵CD²+DO²=CO²，
∴4²+（r-2）²=r²，
∴r=5，
⊙O的半径为5．

（2）如图2中，过点E作EF⊥CD，垂足为点F，EG⊥CB，垂足为G，则∠EFD=90°，

∵直线l切⊙O于B，
∴AB⊥l，
∴∠DBE=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDF=90°，
∴四边形BDFE是矩形，
∴EF=BO+OD=8，
∵点E在∠BCD的平分线上，
∴EG=EF=8．
∴点E到直线BC的距离为8．

点评 本题考查切线的性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，熟练应用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．