Question

4．如图，平面直角坐标系中，点A是反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上一点，一次函数y₂=-x+2的图象经过点A，交y轴于点B，△AOB的面积是3．
（1）求点A的坐标及反比例函数解析式；
（2）观察图象，当y₁＞y₂时，直接写出x的取值范围；
（3）在y轴上是否存在点P，使△ABP为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在y₂=-x+2中，令x=0，则y₂=2，得到B（0，2），根据三角形的面积S_△AOB=3，求得A（3，-1），由点A是反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，得到k=-3，于是得到结论；
（2）根据图象即可得到x的取值范围；
（3）设P（0，a），①当∠APB=90°，由AP⊥PB，根据点A的坐标即可得到 P₁（0，-1），②当∠PAB=90°，由勾股定理和两点间的距离得到方程3²+（a+1）²+3²+3²=（2-a）²，于是得到结论．

解答 解：（1）在y₂=-x+2中，令x=0，则y₂=2，
∵一次函数y₂=-x+2的图象与y轴相交于点B，
∴B（0，2），又∵S_△AOB=3，
设A（m，n），
∴$\frac{1}{2}$×2×m=3，
∴m=3，将其代入y₂=-x+2中得n=-1，
∴A（3，-1），
∵点A是反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴k=-3，∴反比例函数解析式为：y=$\frac{-3}{x}$；

（2）由图象知：当y₁＞y₂时，x＞3；

（3）存在，设P（0，a），
①当∠APB=90°，则AP⊥PB，
∴P₁（0，-1），
②当∠PAB=90°，
则AP²+AB²=PB²，
即3²+（a+1）²+3²+3²=（2-a）²，
∴a=-4，P₂（0，-4），
综上所述：P（0，-1），（0，-4）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两个函数的解析式，两点间的距离公式，弄清题意，正确的识别图形是解题的关键．