Question

20．已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+c与x轴交于A（-1，0），B两点，交y轴于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（m，n）是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF=∠CFG．求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）．
（3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标代入抛物线解析式即可求得c的值，则可得抛物线解析式；
（2）过点C作CH⊥EF于点H，易证△EHC∽△FGC，再根据相似三角形的性质可得n的值；
（3）首先表示出点P的坐标，再根据△OPM∽△QPB，然后由对应边的比值相等得出PQ和BQ的长，从而可得△PBQ的周长．

解答 解：（1）把A（-1，0）代入$y=\frac{1}{2}{x}^{2}+c$
得c=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为$y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}$
（2）如图1，过点C作CH⊥EF于点H，

∵∠CEF=∠CFG，FG⊥y轴于点G
∴△EHC∽△FGC
∵E（m，n）
∴F（m，$\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{1}{2}$）
又∵C（0，-$\frac{1}{2}$）
∴EH=n+$\frac{1}{2}$，CH=-m，FG=-m，CG=$\frac{1}{2}$m²
又∵$\frac{EH}{CH}=\frac{FG}{CG}$，
则$\frac{n+\frac{1}{2}}{-m}=\frac{-m}{\frac{1}{2}{m}^{2}}$
∴n+$\frac{1}{2}$=2
∴n=$\frac{3}{2}$
当F点位于E点上方时，则∠CEF＞90°；又∠CFG肯定为锐角，故这种情形不符合题意．
由此当n=$\frac{3}{2}$时，代入抛物线解析式，求得m=±2，
又E点位于第二象限，所以-2＜m＜0．
（3）由题意可知P（t，0），M（t，$\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{1}{2}$）
∵PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，
∴△OPM∽△QPB．
∴$\frac{OP}{PM}=\frac{PQ}{PB}$．
其中OP=t，PM=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{t}^{2}$，PB=1-t，
∴PQ=$\frac{2t}{1+t}$．
BQ=$\sqrt{P{B}^{2}+P{Q}^{2}}=\frac{{t}^{2}+1}{t+1}$
∴PQ+BQ+PB=$\frac{2t}{1+t}+\frac{{t}^{2}+1}{1+t}+1-t=2$．
∴△PBQ的周长为2．

点评 本题考查了二次函数的综合应用，同时涉及了相似三角形的判定与性质，具有一定的综合性与难度，解题时要注意数形结合思想与方程思想的运用．