Question

8．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E为边AB上一点，ED=CD，以CE为直径作⊙O，交BC于点F．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若DF=1，DC=3，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质，由AB=AC，AD⊥BC得到BD=CD，则可判断OD为△BCE的中位线，所以OD∥BE，再根据等腰三角形的性质，由DE=DC，OE=OC得到DO⊥CE，则BE⊥CE，于是根据切线的性质可判断AB与⊙O相切；
（2）连结EF，如图，根据圆周角定理得∠EFC=90°，在Rt△DEF中利用勾股定理计算出EF=2$\sqrt{2}$，再在Rt△BEF中利用勾股定理计算出BE=2$\sqrt{3}$，然后根据平行线分线段成比例定理可求出AE的长．

解答 （1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∵OE=OC，
∴OD为△BCE的中位线，
∴OD∥BE，
∵DE=DC，OE=OC，
∴DO⊥CE，
∴BE⊥CE，
∴AB与⊙O相切；
（2）连结EF，如图，
∵CE为⊙O的直径，
∴∠EFC=90°，
在Rt△DEF中，∵DE=DC=3，DF=1，
∴EF=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵DB=DC=3，
∴BF=BD-DF=3-1=2，
在Rt△BEF中，∵EF=2$\sqrt{2}$，BF=2，
∴BE=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵EF∥AD，
∴$\frac{BE}{AE}$=$\frac{BF}{FD}$，即$\frac{2\sqrt{3}}{AE}$=$\frac{2}{1}$，
∴AE=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理和平行线分线段成比例定理．