Question

10．已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE，AC平分∠BAD．
求证：四边形ABCD为菱形．

Answer 1

分析 首先证得△ABE≌△CDF，得到AB=CD，从而得到四边形ABCD是平行四边形，然后证得AD=CD，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行证明即可．

解答 证明：∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵DF∥BE，
∴∠DFA=∠BEC，
∴∠AEB=∠CFD，
在△AEB和△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DCF=∠EAB}\\{AE=CF}\\{∠AEB=∠CFD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CFD（ASA），
∴AB=CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠BAE=∠DCF，
∴∠DAF=∠DCF，
∴AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形．

点评 本题考查了菱形的判定，能够了解菱形的几种判定方法是解答本题的关键，难度不大．