Question

5．已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．
（1）如图1，连接BD，AF，则BD=AF（填“＞”、“＜”或“=”）；
（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质，可得∠ABC与∠ACB的关系，根据平移的性质，可得AC与DF的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得GM与HN的关系，BM与FN的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．

解答 （1）解：由AB=AC，
得∠ABC=ACB．
由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，
得DF=AC，∠DFE=∠ACB．
在△ABF和△DFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DF}\\{∠ABF=∠DFB}\\{BF=FB}\end{array}\right.$，
△ABF≌△DFB（SAS），
BD=AF，
故答案为：BD=AF；
（2）证明：如图：
，
MN∥BF，
△AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF，
$\frac{MG}{BC}$=$\frac{AM}{AB}$=$\frac{ND}{DF}$，$\frac{HN}{EF}$=$\frac{DN}{DF}$，
∴MG=HN，MB=NF．
在△BMH和△FNG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=FN}\\{∠BMH=∠FNG}\\{MH=NG}\end{array}\right.$，
△BMH≌△FNG（SAS），
∴BH=FG．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了平移的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．