Question

4．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′E的长为（　　）

• A． $\frac{6}{5}$$\sqrt{10}$
• B． 6
• C． $\frac{8}{5}$$\sqrt{10}$
• D． $\frac{24}{5}$

Answer 1

分析 首先根据折叠可得CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF=4.8，由勾股定理求出AE，得出BF，由勾股定理即可求得B′E的长．

解答 解：根据折叠的性质可知：DE=AE，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，B′F=BF，
∴B′D=4-3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=CE，∠EFC=45°，
∴∠BFC=∠B′FC=135°，
∴∠B′FE=90°，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CE，
∴AC•BC=AB•CE，
∵根据勾股定理得：AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴CE=$\frac{AC•BC}{AB}$=4.8，
∴EF=4.8，AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=3.6，
∴B′F=BF=AB-AE-EF=10-3.6-4.8=1.6，
∴B′E=$\sqrt{E{F}^{2}+B′{F}^{2}}$=$\sqrt{4．{8}^{2}+1．{6}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．
故选：C．

点评 此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出CE、AE是解决问题的关键．