Question

15．已知如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，AC=BC，DC=DE，AD∥BC，CE与AB相交于点F，CD与AB相交于点O，连接BE．探究CF与EF的关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 连接DF，根据等腰直角三角形的性质证明△AOD∽△COF，根据相似三角形的性质得到$\frac{AO}{CO}$=$\frac{OD}{OF}$，根据相似三角形的判定定理得到△AOC∽△DOF，证明∠CFD=90，根据等腰三角形的性质证明结论．

解答 解：CF=EF，
证明：连接DF，
∵AD∥BC，
∴∠DAO=∠ABC=45°，
又∵∠DCF=45°，
∴∠DAO=∠DCF，
又∵∠AOD=∠COB，
∴△AOD∽△COF，
∴$\frac{AO}{CO}$=$\frac{OD}{OF}$，
∴$\frac{AO}{DO}$=$\frac{CO}{FO}$，
又∵∠AOC=∠DOF
∴△AOC∽△DOF，
∴∠CAO=∠CDF=45°，
∴∠CFD=90，
又∵CD=DE，
∴CF=EF．

点评 本题考查的是等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．