Question

10．已知如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在OA，OB上，且OC=OE，OD=OF．求证：四边形DEFC是矩形．

Answer 1

分析 先证明四边形DEFC是平行四边形，再由等腰梯形的性质得出∠ADC=∠BCD，由SAS证明△ADC≌△BCD，得出对应角相等∠OCD=∠ODC，由等角对等边得出OD=OC，证出CE=DF，即可得出四边形DEFC是矩形．

解答 证明：∵OC=OE，OD=OF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ADC=∠BCD，
在△ADC和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}&{\;}\\{∠ADC=∠BCD}&{\;}\\{CD=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BCD（SAS），
∴∠OCD=∠ODC，
∴OD=OC，
∴OC=OE=OD=OF，
∴CE=DF，
∴四边形DEFC是矩形．

点评 本题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定；熟练掌握等腰梯形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．