Question

17．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AM为∠BAC的平分线，若BC=20cm，则AM的长为$\frac{40}{3}$cm．

Answer 1

分析 过点M作DM⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CM=DM，根据直角三角形两锐角互余求出∠B=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BM=2DM，然后求出CM，再求出∠CAM=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AM=2CM．

解答 解：如图，过点M作DM⊥AB于D，
∵AM为∠BAC的平分线，∠C=90°，
∴CM=DM，
∵∠C=90°，∠BAC=60°，
∴∠B=30°，
∴BM=2DM，
∵BC=20cm，
∴BM+CM=2CM+CM=20，
解得CM=$\frac{20}{3}$cm，
∵∠BAC=60°，AM为∠BAC的平分线，
∴∠CAM=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴AM=2CM=2×$\frac{20}{3}$=$\frac{40}{3}$cm．
故答案为：$\frac{40}{3}$．

点评 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记两性质并作辅助线构造出含30°角的直角三角形是解题的关键．