Question

2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB=3，BC=4，则$\frac{AO}{AE}$的值为$\frac{7}{24}$．

Answer 1

分析 作BH⊥OA于H，如图，利用矩形的性质得OA=OC=OB，∠ABC=90°，则根据勾股定理可计算出AC=5，AO=OB=$\frac{5}{2}$，接着利用面积法计算出BH=$\frac{12}{5}$，于是利用勾股定理可计算出OH=$\frac{7}{10}$，然后证明△OBH∽△OEA，最后利用相似比可求出$\frac{OA}{AE}$的值．

解答 解：作BH⊥OA于H，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC=OB，∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AO=OB=$\frac{5}{2}$，
∵$\frac{1}{2}$BH•AC=$\frac{1}{2}$AB•BC，
∴BH=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
在Rt△OBH中，OH=$\sqrt{O{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{7}{10}$，
∵EA⊥CA，
∴BH∥AE，
∴△OBH∽△OEA，
∴$\frac{BH}{AE}$=$\frac{OH}{OA}$，
∴$\frac{OA}{AE}$=$\frac{OH}{BH}$=$\frac{\frac{7}{10}}{\frac{12}{5}}$=$\frac{7}{24}$．
故答案为$\frac{7}{24}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用三角形相似的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了矩形的性质．