Question

5．已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象交于A，B两点，与x轴交于C点，与y轴交于点D，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，-2），tan∠BOC=$\frac{2}{5}$．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）作BH⊥x轴于H，利用正切的定义得tan∠BOH=$\frac{BH}{OH}$=$\frac{2}{5}$，可计算出OH=5，则B点坐标为（-5，-2），把B（-5，-2）代入y=$\frac{k}{x}$可计算k=10，所以反比例函数的解析式为y=$\frac{10}{x}$；在把A（2，m）代入y=$\frac{10}{x}$可确定A点坐标为（2，5），然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）先根据y=x+2求得点D的坐标，再根据S_△AOB=S_△BOD+S_△AOD可得答案．

解答 解：（1）作BH⊥x轴于H，如图，

∵点B的坐标为（n，-2），tan∠BOC=$\frac{2}{5}$，
∴BH=2，tan∠BOH=$\frac{BH}{OH}$=$\frac{2}{5}$，
∴OH=5，
∴B点坐标为（-5，-2），
把B（-5，-2）代入y=$\frac{k}{x}$得：k=-5×（-2）=10，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{10}{x}$；
把A（2，m）代入y=$\frac{10}{x}$，得：2m=10，
解得m=5，
∴A点坐标为（2，5），
把A（2，5）和B（-5，-2）代入y=ax+b，得：
$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=5}\\{-5a+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=x+3；

（2）在y=x+3中，当x=0时，y=3，
∴OD=3，
∴S_△AOB=S_△BOD+S_△AOD
=$\frac{1}{2}$×3×5+$\frac{1}{2}$×3×2
=$\frac{21}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，体现了数形结合的思想．