问题:如图1.在四边形ABCD中.点P为AB上一点.当∠DPC=∠A=∠B=90°时.我们都知道.可以得到:AD•BC=AP•BP,变式:(1)如图2.在平面直角坐标系中.矩形OABC的顶点A.B在双曲线y=$\frac{k}{x}$上.BC与x轴交于点D．过点A作EF⊥y轴.垂足为E.再过点B作BF⊥AF.垂足为F.若点A的坐标为(2.4).则点B的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．问题：
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=90°时，我们都知道，可以得到：AD•BC=AP•BP；
变式：
（1）如图2，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，BC与x轴交于点D．过点A作EF⊥y轴，垂足为E，再过点B作BF⊥AF，垂足为F，若点A的坐标为（2，4），则点B的坐标为（8，1）．
探究：
（2）如图3，在△ABC中，AB=6，AC=BC=4，点P以每秒1个单位的速度从点A出发，沿着AB边向点B运动，且满足∠A=∠CPD，设运动时间为t（秒），BD的长度为s，求s与t的函数解析式，并求出CD的最小值．
应用：
（3）如图4，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），N点坐标为（7，0），点P为线段ON上的动点，始终保持∠APM=∠AOP，射线PM交直线x=7于点M，求MN的最大值．

分析（1）如答图1，利用材料中的知识得到：OE•BF=AE•AF，根据点的坐标与图形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征即可求得点B的坐标；
（2）如答图2，根据材料中的知识得到变式：AC•BD=AP•BP，结合已知条件得到相关线段的长度，代入求值即可；
（3）在x轴上取点C，使得∠NCM=∠APM=∠AOP，设点P的坐标为（x，0），由（1）得：AO•MC=OP•PC，将相关线段的长度代入整理得到：x²-（7+3y）x+25y=0．由根的判别式推知[-（7+3y）]²-4×25y=9y²-58y+49=（9y-49）（y-1）≥0，由此求得最值．

解答解：（1）如答图1，∵A（2，4）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴k=xy=2×4=8，
则函数解析式是：y=$\frac{8}{x}$．
设B（a，$\frac{8}{a}$）．
依题意得：OE=4，BF=4-$\frac{8}{a}$，AE=2，AF=a-2，
∴由OE•BF=AE•AF得到：4（4-$\frac{8}{a}$）=2（a-2），
解得a=8，
故点B的坐标为：（8，1）．
故答案是：（8，1）；

（2）如答图2，由题意，得：AP=t，BP=6-t，
∵AC=BC，∠A=∠B=∠CPD，
∴AC•BD=AP•BP，
∴4s=t（6-t）=6t-t²，
∴s=$-\frac{1}{4}{（t-3）^2}+\frac{9}{4}$，
当t=3时，t的最大值为$\frac{9}{4}$，此时CD的最小值为4-$\frac{9}{4}$=$\frac{17}{4}$．

（3）在x轴上取点C，使得∠NCM=∠APM=∠AOP，设点P的坐标为（x，0），
所以AO=$\sqrt{{3^2}+{4^2}}$=5，
由（1）得：AO•MC=OP•PC，且有tan∠NCM=tan∠APM=$\frac{4}{3}$，
在Rt△MNC中，设CN=3y，则MN=4y，由勾股定理，得MC=$\sqrt{{{（3y）}^2}+{{（4y）}^2}}$=5y，
∴OP=x，PC=7+3y-x，
∴5×5y=x（7+3y-x），
整理，得：x²-（7+3y）x+25y=0．
∵x的值是存在的，
∴方程根的判别式=[-（7+3y）]²-4×25y=9y²-58y+49=（9y-49）（y-1）≥0，
∴y≤1，y≥$\frac{49}{9}$（舍去），4y=4，
因此，MN的最大值为4．