Question

12．如图，在平面直角坐标系中，直线l₁分别与x轴、y轴分别交于A、B两点，与抛物线y=x²+bx+c经过点A、B，且抛物线的对称轴为直线x=-1且过C点（点C点A的右侧）．
（1）求直线l₁与抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）如果平行于x轴的动直线l₂与抛物线交于点P，与直线l₁交于点M，点N为OA的中点，那么是否存在这样的直线l₂，使得△MON是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据直线l₁分别与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出直线l₁的解析式，根据抛物线y=x²+bx+c经过点A、B，得出抛物线的解析式，由x²+2x-3=0得出点C的坐标，
（2）先求出AN=ON=1.5，过点N作M₁N⊥x轴，交l₁与点M₁，根据∠OAB=45°，得出△M₁ON是等腰三角形，根据点P的纵坐标为-1.5，得出x²+2x-3=-1.5求出点P的坐标，设ON的中点是D，过点D作DM₂⊥x轴，交l₁与M₂，则M₂N=M₂O，△M₂ON是等腰三角形，由x²+2x-3=-$\frac{9}{4}$得点P的坐标，当ON=OM时，OM与l₁无交点，此时不存在直线l₂使得△MON是等腰三角形．

解答 解：（1）设直线l₁的解析式为y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{0=-3k+b}\\{-3=b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
直线l₁的解析式为y=-x-3，
∵抛物线y=x²+bx+c经过点A、B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=9-3b+c}\\{-3=c}\end{array}\right.$，
解得；b=2，
∴抛物线的解析式为：y=x²+2x-3，
由x²+2x-3=0得：x₁=1，x₂=-3，
则点C的坐标为（-3，0），
（2）∵点N为OA的中点，
∴AN=ON=1.5，
过点N作M₁N⊥x轴，交l₁与点M₁，则M₁的坐标为（-1.5，-1.5），
∵OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∴AN=M₁N，
∴△M₁ON是等腰三角形，
∴当直线l₂移动到点M₁时△MON是等腰三角形，
∵l₂∥x轴，
∴点P的纵坐标为-1.5，
由x²+2x-3=-1.5得：x₁=$\frac{\sqrt{10}}{2}$-1，x₂=-$\frac{\sqrt{10}}{2}$-1，
∴点P的坐标为P₁（$\frac{\sqrt{10}}{2}$-1，-1.5），P₂=（-$\frac{\sqrt{10}}{2}$-1，-1.5），
设ON的中点是D，则D点的坐标是（-$\frac{3}{4}$，0），
过点D作DM₂⊥x轴，交l₁与M₂，
则M₂的坐标为；（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{9}{4}$），M₂N=M₂O，△M₂ON是等腰三角形，
由x²+2x-3=-$\frac{9}{4}$得：x₁=$\frac{\sqrt{7}}{2}$-1，x₂=-$\frac{\sqrt{7}}{2}$-1，
∴点P的坐标为P₃（-$\frac{\sqrt{7}}{2}$-1，-$\frac{9}{4}$），P₄=（-$\frac{\sqrt{7}}{2}$-1，-$\frac{9}{4}$），
当ON=OM时，OM与l₁无交点，此时不存在直线l₂使得△MON是等腰三角形．

点评 此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、等腰三角形的判定、一次函数的图象与性质，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，注意求出所有符合要求的点．