Question

如图，△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°．
（1）探索DC与BE的夹角的大小．
（2）取BC中点M，连MA，探讨MA与DE的位置关系．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：

分析：（1）根据等腰直角三角形性质可得AB=AD，AE=AC，易证∠DAC=∠BAE，即可证明△ABE≌△ADC，可得∠ABE=∠ADC，即可求得∠BOF=∠DAF=90°，即可解题．
（2）过B作BN∥AC，使得BN=AC，可得四边形ABNC为平行四边形，根据平行四边形的性质得到易证BN=AC=AE，∠BAC+∠ABN=180°，再根据∠BAC+∠DAE=180°即可求得∠DAE=∠ABN，即可证明△DAE≌△ABN，可得∠BAN=∠ADH，再根据∠DAH+∠BAN=90°，即可求得∠AHD=90°，即可解题．

解答：解：（1）如图，

∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴AB=AD，AE=AC，
又∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即：∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中，

AB=AD ∠DAC=∠BAE AE=AC

，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴∠ABE=∠ADC，
又∵∠BFO=∠DFA，∠ADF+∠DFA=90°，
∴∠ABE+∠BFO=90°，
∴∠BOF=∠DAF=90°，即DC与BE的夹角为90°；
（2）过B作BN∥AC，使得BN=AC，则四边形ABNC为平行四边形，延长MA交DE于H，

则BN=AC，
∵AC=AE，
∴BN=AE，
∵∠BAC+∠DAE=180°，∠BAC+∠ABN=180°，
∴∠DAE=∠ABN，
在△DAE和△ABN中，

AD=AB ∠DAE=∠ABN AE=BN

，
∴△DAE≌△ABN，（SAS）
∴∠BAN=∠ADH，
∵∠DAH+∠BAN=90°，
∴∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠AHD=90°，即AM⊥DE．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ABE≌△ADC和△DAE≌△ABN是解题的关键．