Question

若a，b，c为△ABC三边长，求证：抛物线y=b²x²+（b²+c²-a²）x+c²与x轴没有交点．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,三角形三边关系

专题：证明题

分析：根据三角形三边关系可以判定一元二次方程的根的判别式符号，据此证得结论．

解答：证明：∵△=（b²+c²-a²）²-4b²c²=（b²+2bc+c²-a²）（b²-2bc+c²-a²）
=（b+c-a）（b+c+a）（a+b-c）（b-c-a），
∵a，b，c为△ABC的三边长；
∴b+c-a＞0，b+c+a＞0，a+b-c＞0，b-c-a＜0，
∴（b+c-a）（b+c+a）（a+b-c）（b-c-a）＜0，
∴抛物线y=b²x²+（b²+c²-a²）x+c²与x轴没有交点．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点以及三角形三边关系．三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．