Question

1．要建一个如图所示的面积为300m²的长方形围栏，围栏总长50m，一边靠墙（墙长25m）．
（1）求围栏的长和宽；
（2）能否围成面积为400m²的长方形围栏？如果能，求出该长方形的长和宽，如果不能请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设围栏的宽为x米，则围栏的长为（50-2x）米，根据“围栏的面积=围栏长×宽”即可列出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，再根据长方形的长大于宽以及长方形的长小于墙的长度列出关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可求出x的取值范围，由此即可得出结论；
（2）假设能围成，设围栏的宽为y米，则围栏的长为（50-2y）米，根据“围栏的面积=围栏长×宽”即可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式△＜0，可得出该方程没有实数根，从而得出假设不成立，由此即可得出结论．

解答 解：（1）设围栏的宽为x米，则围栏的长为（50-2x）米，
依题意得：x（50-2x）=300，即2x²-50x+300=（x-15）（2x-20）=0，
解得：x=10或x=15，
∵$\left\{\begin{array}{l}{50-2x≤25}\\{x＜50-2x}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{25}{2}$≤x＜$\frac{50}{3}$，
∴x=15，50-2x=20．
答：围栏的长为20米，围栏的宽为15米．
（2）假设能围成，设围栏的宽为y米，则围栏的长为（50-2y）米，
依题意得：y（50-2y）=400，即2y²-50y+400=0，
∵△=（-50）²-2×4×400=-700＜0，
∴该方程没有实数根．
故假设不成立，即不能围成面积为400m²的长方形围栏．

点评 本题考查了一元二次方程的应用以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的一元二次方程以及一元一次不等式组；（2）由根的判别式的正负得出方程解得情况．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，不仅仅列出方程解出方程，还需要根据隐含的条件列出不等式组，求出x的取值范围，此处是失分点，希望在日常练习中多加注意．