Question

17．在学习圆与正多边形时，李晓露、马家骏两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法：
①如图，作直径AD；
②作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；
③联结AB、AC、BC，那么△ABC为所求的三角形．
（1）请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC．
（2）请你判断两位同学的作法是否正确？如果正确，给出△ABC是正三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作OD的垂直平分线得到弦BC，从而得到△ABC；
（2）连结CO，BC交AD于D，如图，由于BC垂直平分OD，易得OE=$\frac{1}{2}$OC，在Rt△OEC中，利用三角函数定义可求出∠OCE=30°，则∠COE=60°，再根据垂径定理得到$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，则AB=AC，根据圆周角定理得到∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠COE=30°，即∠BAC=60°，于是可判断△ABC为等边三角形．

解答 解：（1）如图；
（2）两位同学的方法正确．
连结CO，BC交AD于D，如图，
∵BC垂直平分OD，
∴OE=$\frac{1}{2}$OD，即OE=$\frac{1}{2}$OC，
在Rt△OEC中，∵sin∠OCE=$\frac{OE}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠OCE=30°，
∴∠COE=60°，
∵AD⊥BC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴AB=AC，∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠COE=30°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了等边三角形的判定、垂径定理和圆周角定理．