Question

9．如图，在正方形ABCD中，点M、N是CD边上的两点，且DM=CN，过D作DG⊥AM于H，且分别交AC、BC于点E、G，AM、EN的延长线交于点P．
（1）求证：DM=CG；
（2）判断△PMN的形状，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先运用正方形的性质、三角形的内角和定理证明∠MAD=∠MDH，此为解题的关键性结论；其次证△ADM≌△DCG，得到DM=CG．
（2）首先证明△GCE≌△NCE，得到∠CGE=∠CNE；证明∠DMH=∠CGE，得到∠CNE=∠DMH；运用对顶角的性质证明∠PNM=∠PMN，得到PM=PN．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴DA=DC，∠DCG=∠ADM；
∵DH⊥AM，
∴∠AMD+∠MAD=∠AMD+∠MDH，
∴∠MAD=∠MDH；在△ADM与△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADM=∠DCG}\\{AD=CD}\\{∠MAD=∠CDG}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△DCG（ASA），
∴DM=CG．
（2）解：△PMN为等腰三角形，理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠GCE=∠NCE=45°；
∵CN=DM，CG=DM，
∴CG=CN；在△GCE与△NCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=CN}\\{∠GCE=∠NCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△GCE≌△NCE（SAS），
∴∠CGE=∠CNE；
∵△ADM≌△DCG，
∴∠DMH=∠CGE，
∴∠CNE=∠DMH；
而∠PNM=∠CNE，∠PMN=∠DMH，
∴∠PNM=∠PMN，
∴PM=PN，

点评 该题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握正方形的性质、全等三角形的判定等几何知识点；这是灵活运用、解题的基础和关键．