Question

1．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AB′C′D′，点C的对应点C′恰好落在CB的延长线上，边AB交边C′D′于点E．
（1）求证：BC=BC′；
（2）若AB=2，BC=1，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）连结AC、AC′，根据矩形的性质得到∠ABC=90°，即AB⊥CC′，根据旋转的性质即可得到结论；
（2）根据矩形的性质得到AD=BC，∠D=∠ABC′=90°，根据旋转的性质得到BC′=AD′，AD=AD′，证得BC′=AD′，根据全等三角形的性质得到BE=D′E，设AE=x，则D′E=2-x，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：（1）连结AC、AC′，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°，即AB⊥CC′，
∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AB′C′D′，
∴AC=AC′，
∴BC=BC′；

（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC，∠D=∠ABC′=90°，
∵BC=BC′，
∴BC′=AD′，
∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AB′C′D′，
∴AD=AD′，
∴BC′=AD′，
在△AD′E与△C′BE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D′=∠ABC′}\\{∠AED′=∠BEC′}\\{AD′=BC′}\end{array}\right.$，
∴△AD′E≌△C′BE，
∴BE=D′E，
设AE=x，则D′E=2-x，
在Rt△AD′E中，∠D′=90°，
由勾股定理，得x²-（2-x）²=1，
解得x=$\frac{5}{4}$，
∴AE=$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．