Question

7．如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB=∠DAE=90°，AB=AC=4，AD=AE=2，直线，CE交BD于点P，将△ADE绕点A旋转α角（0°＜α＜180°），在旋转过程中，S_△PAB的最大值为2+2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=∠DAE=90°，求得∠BAD=∠CAE，根据全等三角形的性质得到∠ABD=∠ACE，推出A，B，C，P是以BC为直径的圆的点，当直线BP与⊙A（D的运动路径）相切时，直线在⊙O中截得的弦最长并且点A到直线BP的距离最大，由D在⊙A上，得到直线BD与⊙A只能相交或相切，于是得到A到BD的距离最大为⊙A的直径AD′=2，根据勾股定理得到BD′=$\sqrt{A{B}^{2}-AD{′}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴A，B，C，P是以BC为直径的圆的点，
当直线BP与⊙A（D的运动路径）相切时，直线在⊙O中截得的弦最长并且点A到直线BP的距离最大，
∵D在⊙A上，
∴直线BD与⊙A只能相交或相切，
∴A到BD的距离最大为⊙A的直径AD′=2，
∵∠AP′B=∠ACB=45°，
∴D′P′=AD′=2，
∴BD′=$\sqrt{A{B}^{2}-AD{′}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$BP′•AD′=$\frac{1}{2}$×（2+2$\sqrt{3}$）×2=2+2$\sqrt{3}$．
故答案为：2+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，最值问题，正确的作出辅助线是解题的关键．