已知:如图.抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A两点.连结AB.过点A作直线AK⊥AB.动点P从A点出发以每秒$\sqrt{5}$个单位长度的速度沿射线AK运动.设运动时间为t秒.过点P作PC⊥x轴.垂足为C.把△ACP沿AP对折.使点C落在点D处．(1)求抛物线的解析式,(2)当点D在△ABP的内部时.△ABP与△ADP不重叠部分的面积为S.求S与t之间的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+2与x轴交于点A（4，0）、E（-2，0）两点，连结AB，过点A作直线AK⊥AB，动点P从A点出发以每秒$\sqrt{5}$个单位长度的速度沿射线AK运动，设运动时间为t秒，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP对折，使点C落在点D处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在△ABP的内部时，△ABP与△ADP不重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）若线段AC的长是线段BP长的$\frac{1}{3}$，请直接写出此时t的值；
（4）是否存在这样的时刻，使动点D到点O的距离最小？若存在请直接写出这个最小距离；若不存在，说明理由．

分析（1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先根据点D在△APB内部，求出t的范围，然后用△APB减去△APC面积求出不重叠的部分面积；
（3）根据两点间的距离公式表示出BP，根据条件建立方程，求出时间；
（4）先判断出点D到点O的距离最小时的位置，然后用三角函数和勾股定理计算．

解答解：（1）将A，B，E三点代入抛物线解析式中，得
$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+c=0}\\{4a-2b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$
∴y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2，
（2）∵A（4，0），B（0，2）
∴直线AB解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∵AB⊥AK，
∴直线AK解析式为y=2x+8，
∴tan∠PAC=$\frac{PC}{AC}$=2，
∵AP=$\sqrt{5}$t，
∴AC=t，PC=2t，
∵D在△ABP内部，
∴∠APB＞∠APC，
∴tan∠APB＞tan∠APC，
∴$\frac{AB}{AP}＞\frac{AC}{PC}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}t}=\frac{t}{2t}$，
∴t＜4，
∴0＜t＜4，
∴S=S_△APB-S_△APD
=S_△APB-S_△APC
=$\frac{1}{2}$×AB×AP-$\frac{1}{2}$×AC×PC
=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$t-$\frac{1}{2}$×t×2t
=-t²+5t（0＜t＜4）
（3）∵P（t+4，2t），
∴BP=$\sqrt{A{B}^{2}+A{P}^{2}}$=$\sqrt{20+5{t}^{2}}$，
∵线段AC的长是线段BP长的$\frac{1}{3}$，
∴t=$\frac{1}{3}$$\sqrt{20+5{t}^{2}}$，
∴t=-$\sqrt{5}$（舍）t=$\sqrt{5}$
（4）要使点D到O的距离最小，则有点D在OP上，此时记作D₁
在Rt△OCP中，tan∠POC=$\frac{PC}{OC}$=$\frac{2t}{t+4}$，
在Rt△OCP中，tan∠AOC=$\frac{A{D}_{1}}{O{D}_{1}}=\frac{t}{O{D}_{1}}$，
∴$\frac{2t}{t+4}=\frac{t}{O{D}_{1}}$，
∴OD₁=$\frac{t+4}{2}$，
根据勾股定理得，OD₁²+AD₁²=OA²，
∴（$\frac{t+4}{2}$）²+t²=16，
∴t=-4（舍）t=$\frac{12}{5}$，
∴OD₁=$\frac{t+4}{2}$=$\frac{16}{5}$，
∴动点D到点O的距离最小距离为$\frac{16}{5}$．

点评此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，锐角三角函数，勾股定理，面积的计算，解本题的关键是确定出时间的范围．

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