Question

14．如图，点C在半圆0上，直径AB=8，$\widehat{BC}$=2$\widehat{AC}$，过点C作切线CD，BD⊥CD，则阴影部分的面积是（　　）

• A． 8$\sqrt{3}$-4π
• B． 8$\sqrt{3}$-$\frac{8}{3}$π
• C． 4π-6$\sqrt{3}$
• D． 6$\sqrt{3}$-$\frac{8}{3}$π

Answer 1

分析 连接OC，OE，作OF⊥BE于F，根据题意求得∠AOC=60°，∠BOC=120°，根据切线性质进一步得出OC∥BD，得出∠B=∠AOC=60°，从而求得△EOB是等边三角形，解直角三角形求得EF和OF，然后根据S_阴影=S_矩形-S_扇形OCE-S_△EOF即可求得．

解答 解：连接OC，OE，作OF⊥BE于F，
∵DC是半圆0的切线，
∴OC⊥CD，
∵BD⊥CD，
∴OC∥BD，
∵$\widehat{BC}$=2$\widehat{AC}$，
∴∠AOC=60°，∠BOC=120°，
∴∠B=∠AOC=60°，
∵OB=OE，
∴△EOB是等边三角形，
∴∠EOB=60°，
∴∠COE=60°，
∵OC⊥CD，BD⊥CD，OF⊥BD，
∴四边形OCDF是矩形，
∴DF=OC=4，
在RT△BOF中，∠B=60°，
∴BF=$\frac{1}{2}$OB=2，OF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB=2$\sqrt{3}$，
∴EF=BF=2，
∴S_阴影=S_矩形-S_扇形OCE-S_△EOF
=4×2$\sqrt{3}$-$\frac{60π×{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$
=6$\sqrt{3}$-$\frac{8}{3}$π．
故选D．

点评 本题考查了切线的性质，平行线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形以及扇形的面积等，作出辅助线构建矩形和等边三角形是解题的关键．