Question

3．如图，抛物线L：y=-$\frac{1}{2}$（x-1）（x+3）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）于点P，且OA•MP=8．
（1）求k的值；
（2）求AB长；
（3）求抛物线L的对称轴与顶点坐标，并求直线MP与L对称轴之间的距离；
（4）当抛物线向右平移3个单位后，其顶点是否落在双曲线上，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据点M是OA中点得出OM=$\frac{1}{2}$OA，进而由OA•MP=8，得出OM•MP=4即可得出结论；
（2）令y=0直接求出点A，B坐标即可求出AB；
（3）先确定出抛物线的对称轴为x=-1，再求出点M的坐标即可得出结论；
（4）先确定出平移后的抛物线的顶点坐标代入双曲线解析式中判断即可．

解答 解：（1）设P（x，y）
∵M是线段OA的中点，
∴OM=$\frac{1}{2}$OA，
∵OA•MP=8，
∴OM•MP=4，
∴xy=4，
∵点P在双曲线上，
∴k=xy=4；
（2）令y=0，则0=-$\frac{1}{2}$（x-1）（x+3），
∴x=1或x=-3，
∴B（-3，0），A（1，0），
∴AB=4；
（3）由（2）知，B（-3，0），A（1，0），
∴抛物线的对称轴为x=-1，
当x=-1时，y=2，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，2），
∵M是OA的中点，A（1，0），
∴M（$\frac{1}{2}$，0），抛物线的对称轴为x=-1，
∴直线MP与L对称轴之间的距离为$\frac{3}{2}$；
（4）在双曲线上，
理由：∵抛物线的顶点坐标为（-1，2），
当抛物线向右平移3个单位后，其顶点坐标为（2，2），
把（2，2）代入双曲线的解析式为y=$\frac{4}{x}$中，得出，左边=右边，
∴（2，2）在双曲线上．
即：平移后抛物线的顶点落在双曲线上．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与x轴的交点坐标的确定，抛物线顶点坐标的确定，解（1）的关键是得出OM=$\frac{1}{2}$OA，解（2）的关键是确定出点A，B坐标，解（3）的关键是确定出M的坐标，解（4）的关键是确定出平移后抛物线的顶点坐标．