题目内容
9．
如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα=$\frac{角α的邻边}{角α的对边}$=$\frac{AC}{BC}$，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30°=$\sqrt{3}$；
（2）如图，已知tanA=$\frac{3}{4}$，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
（3）已知第一象限内的点A在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，且OA⊥OB，ctanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，直接写出k的值．
分析 （1）当α=30°时，利用其正切值可求得$\frac{BC}{AC}$的值，根据余切的定义可求得答案；
（2）由正切函数的定义可知$\frac{BC}{AC}$的值，则可求得$\frac{AC}{BC}$的值，可求得ctanA的值；
（3）过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则可证得△OAC∽△BOD，由ctanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可求得其相似比，则可求得△BOD的面积，则可求得k的值．
解答 解：
（1）∵tanα=$\frac{BC}{AC}$，
∴tan30°=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{3}$，
∴ctan30°=$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$；
（2）在Rt△ABC中，tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
∴ctanA=$\frac{4}{3}$；
（3）如图，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
∵A在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，
∴S△AOC=$\frac{1}{2}$OC•AC=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵ctanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠AOC=∠OBD，且∠ACO=∠BDO=90°，
∴△OAC∽△BOD，
∴$\frac{{S}_{△OAC}}{{S}_{△BOD}}$=（$\frac{OA}{OB}$）2=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）2=$\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{{S}_{△BOD}}$=$\frac{1}{3}$，
∴S△BOD=3，
∵S△BOD=$\frac{1}{2}$OD•BD=-$\frac{1}{2}$k，
∴-$\frac{1}{2}$k=3，解得k=-6．
点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及三角函数的定义、特别角的三角函数值、相似三角形的判定和性质、反比例函数中k的几何意义等知识．在（1）、（2）中理角余切值的定义是解题的关键，在（3）中求得△BOD的面积是解题的关键．本题为新定义型题目，关键是理解题目中所给的新定义，难度不大．
第1卷单元月考期中期末系列答案
如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2015的坐标为（ ）| A． | （21008，0） | B． | （21007，-21007） | C． | （21009，21009） | D． | （-21007，21007） |
如图，在直角坐标系中，点A是反比例函数y1=$\frac{k}{x}$图象上一点，AB⊥x轴的正半轴于点B，点C是OB的中点，一次函数y2=ax+b的图象经过A、C两点，交y轴于点D（0，-2），△AOB的面积为4
如图，抛物线y=-x2+4x+5与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线y=$-\frac{3}{4}x+3$与y轴交于点C，与x轴交于点D．P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．
