Question

13．数学课上探究一次函数图象与反比例函数图象有交点时的相关结论：已知直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点C（x，0）、D（0，y），与双曲线y=$\frac{m}{x}$交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）填空与观察：

函数关系式	C（x，0）	D（0，y）	A （x1，y1）	B（x2，y2）
y=2x+2，y=$\frac{4}{x}$，如图1	（-1，0）	（0，2）	（1 ， 4）	（-2，-2）
y=x-3，y=$\frac{10}{x}$，如图2	（3，0）	（0，-3）	（5，2）	（ -2， -5）

（2）发现与验证：
数学学习小组在探究图象交点时发现以下结论：
①x₁+x₂=x；②y₁+y₂=y；③当b²+4mk≥0时，两函数图象一定会相交．
你认为以上探究的结论中正确的有①②③（填序号），请选择一个加以证明．
（3）应用与拓展：
连接AO，BO，判断△ACO与△BOD的面积有什么关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）联立一次函数与反比例函数解析式成方程组，解方程组即可求出交点A、B的坐标；
（2）①②③均成立，将一次函数解析式代入反比例函数解析式整理得出关于x的一元二次方程，根据根的判别式即可证出③成立；证①②时利用利用代入法根据根与系数的关系来证出①②成立；
（3）两三角形面积相等，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，由一次函数解析式可求出点C、D的坐标，联立一次函数与反比例函数解析式成方程组，解方程可求出点A、B的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）联立一次函数与反比例函数解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$，
∴点A（1，4）；
联立一次函数与反比例函数解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{y=\frac{10}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=5}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=-5}\end{array}\right.$，
∴点B（-2，-5）．
故答案为：1；4；-2；-5．
（2）①②③均正确．
∵直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点C（x，0）、D（0，y），
∴x=-$\frac{b}{k}$，y=b．
选①证明：将y=kx+b代入y=$\frac{m}{x}$中，
得：kx+b=$\frac{m}{x}$，整理得：kx²+bx-m=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{b}{k}$=x，①成立；
选②证明，∵y=kx+b，
∴x=$\frac{y-b}{k}$，
将x=$\frac{y-b}{k}$代入y=$\frac{m}{x}$中，
得：y=$\frac{km}{y-b}$，整理得：y²-by-km=0，
∴y₁+y₂=b=y，②成立；
选③证明：将y=kx+b代入y=$\frac{m}{x}$中，
得：kx+b=$\frac{m}{x}$，整理得：kx²+bx-m=0，
∵△=b²+4km，
∴当b²+4mk≥0时，两函数图象一定会相交，③成立．
故答案为：①②③．
（3）△ACO与△BOD的面积相等．理由如下：
过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，如图所示．
∵直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点C（x，0）、D（0，y），
∴x=-$\frac{b}{k}$，y=b．
联立一次函数与反比例函数解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=\frac{m}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}+4km}}{k}}\\{{y}_{1}=\frac{mk}{-b+\sqrt{{b}^{2}+4km}}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}+4km}}{k}}\\{{y}_{2}=\frac{mk}{-b-\sqrt{{b}^{2}+4km}}}\end{array}\right.$．
S_△BOD=$\frac{1}{2}$OD•|x₂|=$\frac{1}{2}$|$\frac{b（-b-\sqrt{{b}^{2}+4km}）}{k}$|；
S_△ACO=$\frac{1}{2}$OC•|y₁|=$\frac{1}{2}$|$\frac{b}{k}$•$\frac{mk}{-b+\sqrt{{b}^{2}+4km}}$|=$\frac{1}{2}$|$\frac{b}{k}$•$\frac{mk（-b-\sqrt{{b}^{2}+4km}）}{-4km}$|=$\frac{1}{2}$|$\frac{b（-b-\sqrt{{b}^{2}+4km}）}{k}$|=S_△BOD．
∴△ACO与△BOD的面积相等．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、根的判别式以及解方程组，解题的关键是：（1）联立两函数解析式成方程组，解方程组求出交点坐标；（2）利用根的判别式（根与系数的关系）证出结论；（3）求出点A、B、C、D的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，联立两函数的解析式成方程组，解方程组求出交点坐标是关键．